Begründen und Beweisen sind zentrale Kompetenzen im Fach Mathematik. Im Mathematikunterricht müssen Begründungen, Argumenten und auch Beweisen ein adäquater Raum gegeben werden. Streng formale Beweise bestimmter Sachverhalte sind jedoch oft nicht angemessen: In vielen Situationen sind anschauliche Begründungen sinnvoller – nämlich dort, wo es darauf ankommt, Schüler beim Aufbau passender Vorstellungen zu unterstützen.
Im Blog DIE mathematiKLernseiten gab es hierzu neulich einen Artikel. Ich möchte noch ein Beispiel hinzufügen, das ich neulich in einer Vorlesung angeführt habe. Es geht um den Sachverhalt, dass die Summe der ersten n ungeraden Zahlen eine Quadratzahl ergibt. Also:
- 1 = 1
- 1 + 3 = 4
- 1 + 3 + 5 = 9
- 1 + 3 + 5 + 7 = 16
- usw.
Formal kann man das so beweisen:
Dieser Beweis (obwohl formal korrekt) führt aber nicht zu tieferen Einsichten über den Sachverhalt – im Gegensatz zu einer Art der Begründung, die Wittmann und Müller (nach Branford) „intuitiv anschaulichen Beweis“ nennen. Dieser könnte so aussehen:
Strenggenommen handelt es sich dabei nicht um einen Beweis, sondern um eine Begründung an der Anschauung. Wichtig dabei ist, dass es sich nicht um die Begründung an einzelnen Beispielen handelt. In der Struktur der Veranschaulichung muss die Allgemeinheit deutlich werden (siehe rechte Konstellation). Vorteil: Diese Form der Begründung kann „Aha“-Erlebnisse vermitteln und führt zu einer echten Einsicht des Sachverhalts.
