Äquivalenz- und Ordnungsrelationen beim Klassifizieren

Veröffentlicht: Dienstag, September 30, 2008 in Mathe und der Rest der Welt, Mathematics

Frage: Wenn ich eine Klassifikationshierarchie erstellt habe: Wo an dem Baum kann ich die Äquivalenzrelation bzw. die Ordnungsrelation sehen?

Antwort: Gehen wir mal von folgender ungeordneter Menge aus:

Diese Menge kann man nach verschiedenen Kriterien sortieren (d.h. Klassen bilden). So kann man die Objekte beispielsweise nach der Farbe sortieren. Diesem Vorgang liegt die Äquivalenzrelation „hat dieselbe Farbe wie“ zu grunde. Es werden alle Objekte miteinander in eine Klasse gepackt (z. B. die Klasse „rot“), welche in Relation zueinander stehen. Also: wenn gilt „Objekt x hat dieselbe Farbe wie Objekt y“, dann landen sie in derselben Klasse, ansonsten nicht. Ebenso kann man die Äquivalenzrelationen „hat dieselbe Form wie“ (mit den Kategorien „Kreis“ und „Quadrat“) oder „hat dieselbe Größe wie“ (mit den Kategorien „klein“ und „groß“) verwenden, und die Objekte werden eben danach sortiert.

Nun kann man auf die Idee kommen, die Äquivalenzrelationen nacheinander „anzuwenden“. D.h. man kategoriert die Objekte erst mal nach der Form. Anschließend werden die beiden entstandenen Klassen für sich alleine betrachtet (!) und nach z.B. mit Hilfe der Äquivalenzrelation „hat dieselbe Größe wie“ nochmals aufgeteilt, und wenn man will, nochmal nach der Farbe. Dies ist für einen „Ast“ im folgenden Bild dargestellt (die anderen Äste bitte selbst ergänzen oder dazudenken):

Wo sehe ich jetzt im Baum die Äquivalenzrelationen? Im Prinzip sind sie immer dort enthalten, wo ein Knoten im Baum auf mehrere Unterknoten „aufgeteilt“ wird. Dort kommt nämlich eine Äquivalenzrelation zur Anwendung. Im linken, dargestellten Ast des Baums wurden nacheinander drei Äquivalenzrelationen „angewendet“, um die Objektmengen immer weiter zu unterteilen: „hat dieselbe Form wie“ bei der ersten Aufsplittung, „hat dieselbe Größe wie“ bei der zweiten Aufsplittung und „hat dieselbe Farbe wie“ bei der dritten Aufsplittung.

Soviel zur Äquivalenzrelation. Wie sieht’s mit der Ordnungrelation aus?

Währen die Äquivalenzrelationen Relationen auf den einzelnen Objekten sind (die dadurch zu Klassen zusammengefasst werden), ist die Ordnungrelation „ist Unterklasse von“ eine Relation auf den Klassen (Ordnungsrelation ist eigentlich ein ungenauer Begriff, da es verschiedene Arten von Ordnungsrelationen gibt; in unserem Fall ist’s die Halbordnung). Diese „sieht“ man, wenn man von einer Klasse aus (beispielsweise der mit den grünen kleinen Kreisen) nach oben zur Wurzel des Baums schreitet: Die Klasse mit den grünen kleinen Kreisen ist Unterklasse von der Klasse mit den kleinen Kreisen, und diese ist wiederum Unterklasse von der Klasse der Kreise. Die Ordnungsrelation „ist Unterklasse von“ ist dabei vollkommen unabhängig von den klassifizierten Objekten und von den Kategorien – sie lautet bei allen Klassifikationen gleich.

Kommentare
  1. Meli sagt:

    Hallo🙂
    Also wenn ich doch eine Äquivalenzrelation durchführe muss doch die Klasse/Kategorie die ich erstellt habe folgendes erfüllen:
    -reflexiv
    -symmetrisch
    -transitiv
    weil sonst ist es doch keine Äquivalenrelation oder?
    Z.B. „ist Freund von“ wäre keine Äquivalenzrelation aber dafür „ist im selben Semester wie“ wäre eine – oder?

    Und die Ordnungsrelation die dann innerhalb des Baumes herrscht muss doch auch
    -reflexiv
    -antisymmetrisch (wieso antisymmetrisch a-b & b-a -> a=b das ist doch falsch oder weil a darf doch nicht gleich b sein?)
    -transitiv
    sein.
    Also die Notwendigkeit der drei Bedingungen bei der Äquivalenzrelation kann ich nachvollziehen aber bei der Ordnungsrelation irgendwie nicht so ganz…

    Vielleicht weiß ja jemand was dazu.
    Danke😉

  2. cspannagel sagt:

    Zunächst einmal: Sie müssen unbedingt auf Ihre Formulierungen achten. Man führt keine Äquivalenzrelation durch, und die drei Eigenschaften sind auch nicht Eigenschaften der Klassen, sondern der Relation. Also eher so: „Eine Relation ist genau dann eine Äquivalenzrelation, wenn sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.“

    „ist Freund von“ ist tatsächlich keine Äquivalenzrelation (es sei denn, Sie beschränken diese Relation auf eine Menge von Leuten, bei denen alle drei Bedingungen erfüllt sind, d.h. wo sich kein Gegenbeispiel finden lässt). „ist im selben Semester wie“ ist eine Äquivalenzrelation.

    Antisymmetrie kann man sich am besten an der Ordnungsrelation <= klar machen: Wenn a <= b und b <= a, dann gilt: a=b

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