Archiv für die Kategorie ‘Mathematics’

Das Josef-Hutzl-Verfahren

Veröffentlicht: Sonntag, Juni 23, 2013 in Arithmetik, Mathematics

Neulich erhielt ich eine Mail von Josef Hutzl. Josef ist Fernfahrer und ist zufällig auf meine Youtube-Videos gestoßen, auch auf eines, in dem ich mal quadriert habe. Er schreibt:

Das brachte mich auf die Idee, bei Ihnen etwas zu hinterfragen. […] Da ich während stundenlanger Nachtfahrten gerne Kopfrechne, habe ich mir einen Rechenablauf zur Kontrolle  beim Quadrieren entwickelt. […] Meine Bitte, sehen Sie sich meine Kopfrechenhilfe unten an, und sagen Bullshit oder nicht.

Das alleine finde ich schon mal extrem cool. Man sieht, dass hier Videos aus Mathe-Vorlesungen wesentlich breiter aufgenommen werden als man das vermutet. Auch wenn die Nutzung durch „Nicht-Akademiker“ insbesondere im Kontext von MOOCs kritisch hinterfragt wird (hier sind doch die meisten Teilnehmer Akademiker), zeigt das Beispiel Josef Hutzl, dass der Zugriff auf Youtube-Videos vielleicht niederschwelliger ist und dass diese daher breiter wirken können als dies in MOOCs der Fall ist: Schließlich kann sich die Videos ja  jeder „einfach so“ ansehen, ohne sich in einen ganzen Kurs oder ähnliches einschreiben zu müssen. Die Kommentare und Rückmeldungen, die ich auf Youtube erhalte, zeugen jedenfalls davon, dass diese auch von „Nicht-Studenten“ und „Nicht-Akademikern“ angesehen werden. Eine Einschätzung über eine Größenordnung kann ich nicht geben, aber das ist ja letztlich auch egal. Hauptsache, diejenigen Menschen haben Zugriff auf solche Materialien, die sich für Mathe interessieren. Und nicht nur das, sondern es lässt sich auch vermuten, dass überall in der Gesellschaft kleinere und größere Mathe-Genies, Mathe-Freaks und Mathe-Liebhaber rumlaufen, die zwar keinen Zugang zur formalen Hochschulbildung haben, in denen aber ein Potenzial schlummert, dass nun mit einer „Demokratisierung der Bildung“ zum einen mehr ausgeschöpft, zum anderen ein Stück weit öffentlicher wird. Hierzu soll auch dieser Blogartikel einen Beitrag leisten.

Nun aber zurück zum Rechentrick von Josef. Wie kann man beispielsweise 44*44 ausrechnen? Er schreibt:

Mir helfen dabei, wie ich es nenne, Eckzahlen. 1,2,3,4,5,6,7,8,9  ihr 10, 100 und tausendfaches mit sich selbst mal genommen z.B.: 50 mal 50 ist 2500,  folglich ist 2500 eine Eckzahl. In diesem Fall eine „obere Eckzahl“ oE, die „untere Eckzahl“ uE wäre in diesem Fall 1600 (40 mal 40). Zwischen 40 und 50 liegen 9 weitere ganze Zahlen (Grundzahlen).
Ich addiere die Grundzahl der oE mit sich selbst, im Beispiel (50 + 50 oder 2 mal 50). Diese multipliziere ich nun mit dem Abstand der betreffenden Grundzahl zur Grundzahl der oE, hier 50 minus 44 ist 6 (Abstand), und subtrahiere die Summe von oE, addiere nun das Quadrat des Abstands dazu habe als Ergebnis 1936 oder 44 mal 44.
Also zusammengefasst:    2500 – 600 + 36 = 1936  = 44

Wir vollziehen es nochmal an einem anderen Beispiel nach. Nehmen wir mal die Aufgabe 37*37. Somit wäre die obere Eckzahl (nach den Ausführungen von Josef) 40*40=1600. Der Abstand von 37 und 40 ist 3. Wir rechnen 2*40*3 = 240. Schließlich rechnen wir 1600 – 240 + 9, und das ergibt 1369. Und das ist tatsächlich 37*37.

Hier ist eine Aufgabe für meine Studenten:

  1. Vollziehen Sie das Verfahren von Josef Hutzl an weiteren Beispielen nach.
  2. Beweisen Sie es.
  3. Entwickeln Sie auf dieser Basis einen noch einfacheren Rechentrick unter Verwendung der unteren Eckzahl.

Letztlich beruht dieser Rechentrick auf… (nein, ich verrate es hier nicht, um den Studierenden den Beweis nicht zu einfach zu machen.) Nichtsdestotrotz: Ich schlage vor, dass Verfahren ab sofort Josef-Hutzl-Verfahren zu nennen. Einfach weil ich’s toll finde, dass Josef ein mathematisches Verfahren entwickelt hat. Das ist eine großartige Leistung!

Wie schwer sind Liebesschlösser?

Veröffentlicht: Freitag, August 3, 2012 in Mathematics
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Wenn man sich in Köln befindet, dann muss man gelegentlich Indianer spielen und den großen Fluß überqueren. Doch keine Bange: Man muss nicht schwimmen, man kann auch einfach eine der vielen Brücken nehmen. Zum Beispiel die Hohenzollernbrücke, die neulich als praktische Verbindung zwischen Dom und Amphi-Festival genutzt werden konnte. Im Übrigen ist das genau diejenige Brücke, mit der man den Rhein überquert, wenn man mit dem Zug nach Köln hineinfährt – vorbei an Reiterstandbildern irgendwelcher früherer Könige und Kaiser.

Auffällig ist bei Flanieren auf der Brücke die große Zahl an Liebesschlössern (eine Tradition, die laut Wikipedia-Seite aus Italien zu stammen scheint, was einen aber auch nicht wundert). Verliebte Paare bringen dort am Brückengeländer mir Gravur versehene Schlösser als Symbol ihrer ewigen Liebe an.  Freunde der Symbolik des Abschließens und Ankettens freuen sich über diese Möglichkeit. Doch darum soll’s hier erst mal nicht gehen, denn ebenso spannend ist die Tatsache, dass dies ein interessanter Ausgangspunkte für mathematische Fragen ist, beispielsweise für die Frage:

Wie viele Schlösser hängen denn an der Hohenzollernbrücke?

Ein schöner Auftakt für eine Fermi-Aufgabe. Was ist ne Fermi-Aufgabe? Das ist eine ganz einfache Frage mit mathematischem Gehalt, zu deren Beantwortung aber entscheidende Daten fehlen. Oft bleibt einem dann nichts anderes übrig als diese zu schätzen und „mit gesundem Menschenverstand“ herzuleiten. Als kleine Anhaltspunkte können dabei Fotos der folgenden Art dienen:

Hohenzollern-Brücke in Köln

Hohenzollern-Brücke in Köln

Hohenzollern-Brücke in Köln

Zum Lösen dieser Aufgabe muss man vermutlich die Länge der Brücke schätzen (oder nachschlagen), Überlegungen zum Flächeninhalt des Geländers und eines Schlosses anstellen und überlegen, wie man mit Überlappungen umgeht. Oder man zählt einen abgesteckten Bereich aus und rechnet das Ganze hoch… oder… aber darauf sollen ja die Schüler kommen. Ach, viel spannender ist ja noch die folgende Frage:

Wie schwer sind denn die Schlösser zusammengenommen?

Damit verbunden ist nämlich die existenzielle Frage, ob die Schlösser so schwer werden können, dass die Brücke deren Gewicht nicht mehr aushält. Dabei kann man sich überlegen, dass ja auch normalerweise voll beladene ICEs über diese Brücke fahren und das kein Problem zu sein scheint. Aber wie schwer sind die Schlösser eigentlich im Vergleich zu einem ICE?

In einem Zeitungsartikel erfährt man übrigens, dass es rund 40.000 Schlösser sind – aber gezählt worden sind die vermutlich nicht, und man kann sich angeregt fühlen, diese Schätzung mit seiner eigenen Berechnung zu vergleichen.

Spannend fände ich auch folgende Frage:

Wie viele Schlösser müsste man eigentlich mittlerweile wieder abhängen?

Jan-Martin Klinge sammelt übrigens in seinem Halbtagsblog seit geraumer Zeit interessante Fermi-Probleme – für all diejenigen, die sich davon überzeugen wollen, wie spannend doch Mathematik im Alltag sein kann. 🙂

Fermi in Mosambik

Veröffentlicht: Montag, Oktober 4, 2010 in Maputo, Mathematics

Mosambik ist ein unglaubliches Land voller Dinge, die es zu entdecken gibt. In den letzten zwei Tagen habe ich unzählige Eindrücke gewonnen: Freundlichkeit, Armut, Lebensfreude, Luxus, Meer und Palmen, Jazzmusik… Langsamkeit. Ich würde sagen: Wer noch nie in Mosambik gewesen ist, sollte das Land unbedingt besuchen. Ich bin verzaubert, und das geht nicht nur mir so.

Auch in meinem Kurs, der am Dienstag beginnt, möchte ich zahlreiche Eindrücke von Mosambik mitnehmen. Ich werde versuchen, mosambikanische Elemente mit in den Kurs zu nehmen, und zwar insofern, dass die Studierenden diejenigen Dinge, die wir besprechen, in den mosambikanischen (Schul-)Kontext übertragen oder Kulturelemente aus Mosambik in den Kurs einbringen. Am ersten Tag fange ich gleich damit an, und zwar im Kontext von Fermi-Aufgaben.

Fermi-Aufgaben sind offene Fragen, in denen einige Daten zur Berechnung fehlen und bei denen man schätzen und Annahmen treffen muss. Ein typisches Beispiel (um nicht zu sagen „Die fermiste aller Fermi-Aufgaben“) ist die Frage: „Wie viele Klavierstimmer leben in Chicago?“. Diese Aufgabe stammt von Enrico Fermi selbst. Fermi war Physiker, hat einen Nobelpreis erhalten im Kontext von nuklearer Forschung und war ein Verfechter von ersten Abschätzungen eines Ergebnisses, bevor man zu rechnen beginnt. Weitere typische Fermi-Aufgaben sind:

  • Wie viele Bohnen passen in 1-Liter-Glas?
  • Wie viele Autos stehen in einem 3 km langen Stau?
  • Wie viele Haare hast du auf dem Kopf?
  • Wie viele Autos gibt es in Mosambik?

Es ist klar: Hier kann man nicht sofort beginnen zu rechnen. Man muss sich überlegen, welche Informationen „aus der Welt“ wichtig sind und ggf. Abschätzungen treffen. Das ist eine wichtige Tätigkeit im Rahmen des mathematischen Modellbildungsprozesses, der den Weg einer realweltlichen Frage hin zu einer Lösung beschreibt, die schließlich der Realität standhalten muss. Es gibt zudem keine eindeutig richtige Antwort. Je nach Modell kann es unterschiedliche Lösungen geben, und die Schüler müssen dann diskutieren. Fermi-Aufgaben fördern also den prozessorientierten Mathematikunterricht, in dem Prozesse wie begründen, kommunizieren, hinterfragen und Darstellungen verwenden im Mittelpunkt stehen. Zudem wird dadurch ein realistischeres Bild der Bedeutung der Mathematik in der Welt vermittelt: Es gibt halt keine eindeutig richtigen oder falschen Lösungen (das ist das, was Schüler oft aus dem Mathematikunterricht mitnehmen), sondern nur mehr oder weniger brauchbare. George Box hat mal gesagt: Es gibt keine wahren oder falschen Modelle, sondern nur mehr oder weniger nützliche. (zumindest so ähnlich)

Ich werde am Dienstag mit folgender Frage für die Studierenden einsteigen: „How many characters (Buchstaben) have you read in your life?“ Die Studierenden sollen dann zunächst selbst überlegen, sich mit dem Nachbarn austauschen, und dann die Ideen im Plenum zusammentragen. Dabei werde ich eine Mixtur aus den Methoden Ich-Du-Wir (think-pair-share) und dem aktiven Plenum (in der „Wir“-Phase) versuchen. Nach ein paar weiteren Aufgaben sollen die Studierenden sich Fermi-Aufgaben überlegen, die einen direkten Bezug zum Leben und zur Kultur Mosambiks haben. Ich bin gespannt, welche Aufgaben die Studierenden einbringen werden.

Darüber hinaus werden am Dienstag der Modellierungskreislauf, die Bedeutung anwendungsbezogener Mathematik, Konnektivismus und LdL, Wiki-Arbeit und das aktive Plenum Thema sein. Ich werde außerdem den Erich-Hammer-Film zeigen. Ich bin auch hier gespannt, wie die Studierenden reagieren. Es ist ziemlich viel Programm, und ich muss schauen, ob das alles in die Zeit am Dienstag hineinpasst. Ansonsten wird ein bisschen was auf den nächsten Tag verschoben.

Links:

Planung einer Vorlesungsaufzeichnung

Veröffentlicht: Freitag, September 10, 2010 in Mathematics, Teaching
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Im nächsten Semester werde ich die Vorlesung „Einführung in die Arithmetik“ aufzeichnen und online stellen. Vorab einmal ein paar Gedanken zur technischen Umsetzung und zu den Zielen, die ich damit verfolge.

Wer einmal ein paar Beispiele sehen möchte, wie ich mir das vom Format her vorstelle, kann einen Blick in die Aufzeichnungen der Geometrie-Vorlesung von Michael Gieding werfen.

Ich freue mich natürlich über jede Anregung!

Ene Mene Muh

Veröffentlicht: Samstag, November 29, 2008 in Mathematics, Web 2.0

Heute abend sind meine Kollegin Christine Bescherer und ich auf ein interessantes mathematisches Problem gestoßen (im Rahmen des Abendessens zum Tag des wissenschaftlichen Nachwuchses, aber das tut nichts zur Sache):

Jeder kennt das „Ene-Mene-Muh“-Spiel: Personen einer Gruppe stellen sich im Kreis auf und beginnen durchzuzählen: „Ene Mene Muh und raus bist du“. Diese Person muss den Kreis verlassen, und es wird ab der nächsten Person von neuem gezählt. Es wird so lange abgezählt, bis nur noch eine Person (der „Gewinner“) übrig bleibt. Jetzt das Problem: Wo muss ich mich hinstellen, damit ich als Gewinner übrig bleibe? Wenn man etwas drüber nachdenkt, wird man merken, dass dieses Problem gar nicht so trivial ist.

Ich habe mal ein wenig danach gegoogelt und fast nichts gefunden. Eine Schülerin scheint dieses Problem bereits im Rahmen von Jugend forscht gelöst zu haben, leider findet man nirgendwo die Dokumentation.

Daher habe ich jetzt bei Wikiversity eine Seite eingerichtet, auf der wir gemeinsam dieses Problem lösen können. Wer Lust hat: Einfach mitmachen, Ideen hinschreiben, Ideen verwerfen, Anregungen geben usw. Vielleicht lösen wir das Problem ja kollaborativ.

Und weil ich die Idee des gemeinschaftlichen Lösens interessanter neuer Mathe-Probleme spannend finde, habe ich das Ganze eingebettet in ein neues Wikiversity-Projekt: die Mathe-Werkstatt. Wer abends in der Kneipe auf ein interessantes Mathe-Problem stößt und es gerne gemeinsam mit anderen lösen möchte, kann dort einfach eine neue Seite aufmachen!

Das könnte im übrigen auch eine interessante Sache für Mathe-Kurse sein. Es wird ein interessantes, komplexes Mathe-Problem in Wikiversity gestellt. Die Schüler bzw. Studierenden versuchen es dort über einen größeren Zeitraum zu lösen, und die ganze Welt kann potenziell mitmachen und Anregungen geben. Super, oder?

Eine Reise in die Unendlichkeit – mit Happy End!

Veröffentlicht: Donnerstag, November 6, 2008 in Mathematics

So lautet der Titel meines Vortrags im Rahmen der Langen Nacht der Mathematik an der PH Ludwigsburg. Und wie sich das für einen öffentlichen Wissenschaftler gehört, habe ich den Vortrag aufgezeichnet und online gestellt. Außerdem gibt’s – das gehört zum guten Ton – ein Wiki, auf dem alle über den Vortrag diskutieren können.

Die Lange Nacht war im Übrigen eine wirklich gelungene Veranstaltung mit einer Besucherzahl, die höher als erwartet ausfiel. Es gab zahlreiche Vorträge, und alle, mit denen ich gesprochen habe, waren sehr zufrieden. Es gibt auch erste Kommentare in Weblogs, nämlich bei Bonjour und bei per aspera ad astra.

Frage: Wenn ich eine Klassifikationshierarchie erstellt habe: Wo an dem Baum kann ich die Äquivalenzrelation bzw. die Ordnungsrelation sehen?

Antwort: Gehen wir mal von folgender ungeordneter Menge aus:

Diese Menge kann man nach verschiedenen Kriterien sortieren (d.h. Klassen bilden). So kann man die Objekte beispielsweise nach der Farbe sortieren. Diesem Vorgang liegt die Äquivalenzrelation „hat dieselbe Farbe wie“ zu grunde. Es werden alle Objekte miteinander in eine Klasse gepackt (z. B. die Klasse „rot“), welche in Relation zueinander stehen. Also: wenn gilt „Objekt x hat dieselbe Farbe wie Objekt y“, dann landen sie in derselben Klasse, ansonsten nicht. Ebenso kann man die Äquivalenzrelationen „hat dieselbe Form wie“ (mit den Kategorien „Kreis“ und „Quadrat“) oder „hat dieselbe Größe wie“ (mit den Kategorien „klein“ und „groß“) verwenden, und die Objekte werden eben danach sortiert.

Nun kann man auf die Idee kommen, die Äquivalenzrelationen nacheinander „anzuwenden“. D.h. man kategoriert die Objekte erst mal nach der Form. Anschließend werden die beiden entstandenen Klassen für sich alleine betrachtet (!) und nach z.B. mit Hilfe der Äquivalenzrelation „hat dieselbe Größe wie“ nochmals aufgeteilt, und wenn man will, nochmal nach der Farbe. Dies ist für einen „Ast“ im folgenden Bild dargestellt (die anderen Äste bitte selbst ergänzen oder dazudenken):

Wo sehe ich jetzt im Baum die Äquivalenzrelationen? Im Prinzip sind sie immer dort enthalten, wo ein Knoten im Baum auf mehrere Unterknoten „aufgeteilt“ wird. Dort kommt nämlich eine Äquivalenzrelation zur Anwendung. Im linken, dargestellten Ast des Baums wurden nacheinander drei Äquivalenzrelationen „angewendet“, um die Objektmengen immer weiter zu unterteilen: „hat dieselbe Form wie“ bei der ersten Aufsplittung, „hat dieselbe Größe wie“ bei der zweiten Aufsplittung und „hat dieselbe Farbe wie“ bei der dritten Aufsplittung.

Soviel zur Äquivalenzrelation. Wie sieht’s mit der Ordnungrelation aus?

Währen die Äquivalenzrelationen Relationen auf den einzelnen Objekten sind (die dadurch zu Klassen zusammengefasst werden), ist die Ordnungrelation „ist Unterklasse von“ eine Relation auf den Klassen (Ordnungsrelation ist eigentlich ein ungenauer Begriff, da es verschiedene Arten von Ordnungsrelationen gibt; in unserem Fall ist’s die Halbordnung). Diese „sieht“ man, wenn man von einer Klasse aus (beispielsweise der mit den grünen kleinen Kreisen) nach oben zur Wurzel des Baums schreitet: Die Klasse mit den grünen kleinen Kreisen ist Unterklasse von der Klasse mit den kleinen Kreisen, und diese ist wiederum Unterklasse von der Klasse der Kreise. Die Ordnungsrelation „ist Unterklasse von“ ist dabei vollkommen unabhängig von den klassifizierten Objekten und von den Kategorien – sie lautet bei allen Klassifikationen gleich.

Lange Nacht der Mathematik

Veröffentlicht: Mittwoch, September 17, 2008 in Announcements, Mathematics

Am 4. November 2008 veranstaltet das Institut für Mathematik und Informatik an der Pädagogischen Hochschule Ludwigsburg ab 19 Uhr die Lange Nacht der Mathematik. Jeder kann kommen – der Eintritt ist frei! Also: Weitersagen, hingehen, Freunde mitbringen! 🙂

Aus dem Ankündigungstext:

Was haben Seifenblasen und die Olympischen Spiele mit Mathematik zu tun? Was muss man sich unter der „Unendlichkeit“ vorstellen? Wie entstehen  Vorstellungen von Zahlen? Wie kann man Kinder den Umgang mit Zufall und Wahrscheinlichkeit bereits in der Grundschule lehren?

Diese und andere anregenden Fragen werden in der „Langen Nacht der Mathematik“ an der Pädagogischen Hochschule Ludwigsburg von Mathematikdozentinnen  und -dozenten beantwortet. Lassen Sie sich überraschen von abwechslungsreichen, spannenden, verblüffenden, vergnüglichen und allgemeinverständlichen Vorträgen über Mathematik und Mathematiklernen!

Ich werde im Rahmen der Langen Nacht der Mathematik einen Vortrag über „Unendlichkeit“ halten. Hier ist die Kurzfassung, um schon mal die Vorfreude zu erhöhen. 🙂

Christian Spannagel: Eine Reise in die Unendlichkeit – mit Happy End!

Nicht nur Cowboys schätzen unendlichen Weiten, und nicht nur Theologen beschäftigen sich mit den Konsequenzen der Existenz der Unendlichkeit. Das Unendliche ist auch für Mathematiker von besonderem Interesse – insbesondere die Frage, wie man Unendliches mit endlichen Mitteln in den Griff bekommt. Lassen Sie sich in endlicher Zeit vom Unendlichen faszinieren!

Es ist auch bereits der Flyer online mit weiteren Informationen zum Programm und zur Anfahrt, außerdem gibt es die Kurzfassungen zu den Vorträgen zum Download.

Mathemacher der Woche

Veröffentlicht: Dienstag, Juli 29, 2008 in Mathematics

Das Jahr 2008 ist das Jahr der Mathematik. Viele Menschen führen in diesem Jahr Aktionen durch, welche die Faszination an Mathematik deutlich machen.

Im Rahmen des Jahrs der Mathematik wird mir diese Woche eine besondere Ehre zuteil :-). Ich bin Mathemacher der Woche, und zwar mit meinem Kinderuni-Vortrag zu Pinguinen und Mathematik. Nach diesem Bericht bin ich „Globetrotter in Sachen Mathematik“. Das gefällt mir natürlich sehr gut. Mal sehen, in welche Regionen mich mein Globetrotter-Dasein noch führen wird. 🙂

Karopapier erstellen

Veröffentlicht: Freitag, Mai 23, 2008 in Mathematics, Queries

Frage: Ich halte nächste Woche Unterricht und da wollte ich Arbeitsblätter am PC erstellen, nur weiß ich jetzt nicht, wie es möglich ist ein Karomuster in Word zu bekommen?

Antwort: Ich empfehle die Karopapier-Generatoren bei incompetech.com. Dort kann man sich PDF-Dateien mit zahlreichen Mustern erzeugen. Wenn man die Karos in Word hineinbekommen möchte, dann würde ich einen Screenshot des Musters in der PDF-Datei machen und in Word als Bild einfügen.