Archiv für die Kategorie ‘Mathe und der Rest der Welt’

Frage: Wenn ich eine Klassifikationshierarchie erstellt habe: Wo an dem Baum kann ich die Äquivalenzrelation bzw. die Ordnungsrelation sehen?

Antwort: Gehen wir mal von folgender ungeordneter Menge aus:

Diese Menge kann man nach verschiedenen Kriterien sortieren (d.h. Klassen bilden). So kann man die Objekte beispielsweise nach der Farbe sortieren. Diesem Vorgang liegt die Äquivalenzrelation „hat dieselbe Farbe wie“ zu grunde. Es werden alle Objekte miteinander in eine Klasse gepackt (z. B. die Klasse „rot“), welche in Relation zueinander stehen. Also: wenn gilt „Objekt x hat dieselbe Farbe wie Objekt y“, dann landen sie in derselben Klasse, ansonsten nicht. Ebenso kann man die Äquivalenzrelationen „hat dieselbe Form wie“ (mit den Kategorien „Kreis“ und „Quadrat“) oder „hat dieselbe Größe wie“ (mit den Kategorien „klein“ und „groß“) verwenden, und die Objekte werden eben danach sortiert.

Nun kann man auf die Idee kommen, die Äquivalenzrelationen nacheinander „anzuwenden“. D.h. man kategoriert die Objekte erst mal nach der Form. Anschließend werden die beiden entstandenen Klassen für sich alleine betrachtet (!) und nach z.B. mit Hilfe der Äquivalenzrelation „hat dieselbe Größe wie“ nochmals aufgeteilt, und wenn man will, nochmal nach der Farbe. Dies ist für einen „Ast“ im folgenden Bild dargestellt (die anderen Äste bitte selbst ergänzen oder dazudenken):

Wo sehe ich jetzt im Baum die Äquivalenzrelationen? Im Prinzip sind sie immer dort enthalten, wo ein Knoten im Baum auf mehrere Unterknoten „aufgeteilt“ wird. Dort kommt nämlich eine Äquivalenzrelation zur Anwendung. Im linken, dargestellten Ast des Baums wurden nacheinander drei Äquivalenzrelationen „angewendet“, um die Objektmengen immer weiter zu unterteilen: „hat dieselbe Form wie“ bei der ersten Aufsplittung, „hat dieselbe Größe wie“ bei der zweiten Aufsplittung und „hat dieselbe Farbe wie“ bei der dritten Aufsplittung.

Soviel zur Äquivalenzrelation. Wie sieht’s mit der Ordnungrelation aus?

Währen die Äquivalenzrelationen Relationen auf den einzelnen Objekten sind (die dadurch zu Klassen zusammengefasst werden), ist die Ordnungrelation „ist Unterklasse von“ eine Relation auf den Klassen (Ordnungsrelation ist eigentlich ein ungenauer Begriff, da es verschiedene Arten von Ordnungsrelationen gibt; in unserem Fall ist’s die Halbordnung). Diese „sieht“ man, wenn man von einer Klasse aus (beispielsweise der mit den grünen kleinen Kreisen) nach oben zur Wurzel des Baums schreitet: Die Klasse mit den grünen kleinen Kreisen ist Unterklasse von der Klasse mit den kleinen Kreisen, und diese ist wiederum Unterklasse von der Klasse der Kreise. Die Ordnungsrelation „ist Unterklasse von“ ist dabei vollkommen unabhängig von den klassifizierten Objekten und von den Kategorien – sie lautet bei allen Klassifikationen gleich.

Becherglaspinguine

Veröffentlicht: Dienstag, April 8, 2008 in Mathe und der Rest der Welt, Multidisciplinarity, School, Teaching

Am 8. Mai werde ich im Rahmen der Kinderuni Ludwigsburg einen Vortrag halten mit dem Thema „Warum gibt es große und kleine Pinguine? Und was hat das mit Mathematik zu tun?“. Darin geht es im Wesentlichen um die Bergmannsche Regel und die Mathematik, die damit zusammenhängt (Verhältnis von Oberfläche und Volumen). Für ein kleines physikalisches Experiment habe ich mich nun entschieden, doch keine Würfelpinguine zu nehmen, sondern Becherglaspinguine. Sind süß geworden, oder?


Becherglaspinguine

Kategorisieren und Klassifizieren

Veröffentlicht: Dienstag, Oktober 2, 2007 in Mathe und der Rest der Welt, Mathematics

Ich möchte ein neues Artikel-Format in meinem Weblog einführen, ähnlich wie es beim Weblog DIE mathematiKLernseiten gemacht wird: Wenn mir inhaltliche Fragen gestellt per E-Mail gestellt werden, die auch andere interessieren könnten, dann beantworte ich sie in meinem Weblog. Dem Studierenden, der mir diese Frage gestellt hat, schicke ich dann den Link zurück. Einerseits ist damit dem Studenten geholfen. Andererseits haben evtl. auch andere etwas davon. Außerdem kann man über Kommentare gemeinsam zu den Inhalten ins Gespräch kommen.

Hier die erste Frage:

Was ist der Unterschied zwischen Kategorisieren und Klassifizieren? Oder kann man beide Begriffe synonym verwenden?

Diese Frage beantwortet der Wikipedia-Artikel über Kategorisierung sehr schön: Kategorisierung und Klassifizierung bedeuten im Grunde genommen dasselbe, „Klassifizierung“ bezieht sich jedoch auf mathematische oder technische Prozesse oder Strukturen, „Kategorisierung“ auf Psychologie und Bedeutung.

Ich würde auch sagen, dass Kategorisierung eher ein psychologischer Begriff ist (Lernen von Konzepten und Denken in Konzepten). Klassifizierung ist eher ein mathematischer Begriff (Zuordnung von Objekten zu Klassen). Aber vermutlich gibt es auch andere Definitionen und Bedeutungen dieser Begriffe. Vielleicht kann hierzu an dieser Stelle eine Diskussion entstehen?

Der Reader zu „Mathematik und der Rest der Welt“ steht ab sofort in der Bibliothek in meinem Semesterapparat (201) bereit.

Premiere

Veröffentlicht: Donnerstag, März 1, 2007 in Mathe und der Rest der Welt, Miscellaneous

Heute war ich zum ersten Mal im Fernsehen. Zwar als Statist, aber immerhin. In der Ländersache (SWR) gab es heute einen Bericht über Studiengebühren. In diesem Rahmen wurde in meiner Veranstaltung Mathematik und der Rest der Welt gefilmt, und zwar über die „Leiden der jungen Dinkels„.
Wer die drei Sekunden, in denen ich vorturne, nochmal sehen möchte, hat morgen früh (Fr., 2.3., ca. 7.45 Uhr) in der Wiederholung der Sendung die Möglichkeit dazu. 🙂

Kategorien überall

Veröffentlicht: Donnerstag, März 1, 2007 in Mathe und der Rest der Welt, Mathematics

Menschen kategorisieren Dinge, und zwar ständig. Oft tun wir dies sogar bewusst. Beispiel Mülltrennung: Ist dieses Objekt nun Papiermüll, Restmüll oder grüner Punkt?

Muelltrennung

Viel öfter kategorisieren wir aber unbewusst. Wenn wir Objekte sehen, dann verbinden wir sie mit entsprechenden Konzepten (auch Begriffen), die wir als Abstraktion dieser Objekte mit der Zeit gelernt haben. So sehen wir ein Objekt mit vier Beinen und einem wedelnden Schwanz und kategorieren es als HUND. Oder als KUH, je nachdem, ob es bellt oder muht.

Mathematisch gesehen ist Kategorisieren eine Funktion, die ein Objekt einer Kategorie zuordnet. Die Kategorien (oder Klassen) werden dabei über eine Äquivalenzrelation spezifiziert. So kann man beispielsweise eine Menge von Gummibärchen nach der Farbe sortieren. Die Äquivalenzrelation lautet in diesem Fall „… hat die gleiche Farbe wie …“. Die Gummibärchen werden hierdurch in unterschiedliche Äquivalenzklassen eingeteilt, die disjunkt sind. Das heißt, jedes Gummibärchen landet in genau einer Klasse (und nicht etwa in zwei; die zweifarbigen natürlich ausgenommen).

Im Alltag sind Kategorien leider oft nicht disjunkt. Zurück zum Abfallbeispiel: Wie oft fragt man sich, ob das mit Cheeseburgerresten versehene Verpackungspapier nun Papiermüll oder Restmüll ist. Ganz übel wird’s, wenn selbst die Kategoriennamen ohne Sinn sind. Beispiel Ludwigsburger Abfallsystem: Hier gibt es die Kategorien Müll rund und Müll flach. Wer um alles in der Welt hat sich eigentlich diese Konzepte ausgedacht? Was ist denn mit flachen, runden Dingen? Und mit quaderförmigen? Weshalb man hier Adjektive genommen hat, die nicht mal Gegensätze darstellen, wird wohl für immer ein Rätsel bleiben. Und die Kategorien muss man mühsam lernen. So z.B. die Tatsache, dass Styroporformteile flach sind, selbst wenn sie es nicht sind. Und dass Tablettenverpackungen rund sind bzw. sein sollten. Naja: Was nicht passt, wird passend gemacht. Kennt jemand noch ähnliche, fragwürdige Kategorien?

Fragen zu Mathe und der Rest der Welt

Veröffentlicht: Donnerstag, Februar 22, 2007 in Mathe und der Rest der Welt

Dieser Blogbeitrag dient als Forum für alle ehemaligen Teilnehmerinnen und Teilnehmer der Veranstaltung Mathematik und der Rest der Welt. Wenn bei der Prüfungsvorbereitung Fragen auftauchen, dann können Sie diese hier als Kommentar loswerden. Ebenso können Sie die Fragen der anderen beantworten.

Damit Sie nicht immer selbst aktiv nachsehen müssen, ob es etwas Neues gibt, können Sie einen RSS-Reader verwenden. Falls Sie nicht wissen, was das ist – unter Infos zu meinen Veranstaltungen gibt es Erklärungen hierzu. Den RSS-Feed nur für Kommentare zu diesem einen Beitrag findet man in dem Infofeld oberhalb des Kommentarfeldes.

Daten in der Schule

Veröffentlicht: Mittwoch, Februar 21, 2007 in Mathe und der Rest der Welt

Neben der Aufgabe zu Wasser und Daten habe ich den Teilnehmerinnen und Teilnehmern der Veranstaltung Mathematik und der Rest der Welt außerdem folgende Frage gestellt:

Welche anderen Themen (außer „Wasser“) eignen sich noch für eine fächerübergreifende Behandlung, bei denen außerdem der Umgang mit Daten erlernt werden kann? Geben Sie Beispiele für relevante Daten!

Ideen hierzu können als Kommentar zu diesem Artikel geäußert werden (gerne auch von Außenstehenden).

Wasser und Daten

Veröffentlicht: Mittwoch, Februar 21, 2007 in Mathe und der Rest der Welt

Heute habe ich in meiner Veranstaltung Mathematik und der Rest der Welt das Thema „Daten erheben, auswerten und darstellen“ behandelt. Exemplarisch wurden einige der Verfahren am Thema „Wasser“ ausprobiert. Den Teilnehmerinnen und Teilnehmern habe ich dabei u.a. folgende Frage gestellt:

Sie behandeln das Thema „Wasser“ in der Schule und möchten, dass die Schülerinnen und Schüler Daten erheben, auswerten und darstellen. Welche Fragen könnten im Zusammenhang mit Wasser interessant sein? Welche Daten benötigt man zur Beantwortung dieser Fragen? Wie kommt man an diese Daten? Wie muss man diese Daten auswerten? Wie sollte man sie darstellen? Denken Sie dabei aus der Sicht mehrerer Fächer (Physik, Chemie, Biologie, Geographie, …)

Die Teilnehmerinnen und Teilnehmer sind nun aufgefordert, Ihre Ideen in einem Kommentar zu diesem Weblog-Artikel zu beschreiben. Außerdem dürfen (und sollen) Sie auch auf die Ideen der anderen eingehen und Ihre Gedanken dazu aufschreiben.

Natürlich dürfen auch Außenstehende gerne kommentieren…

Linklisten zu Veranstaltungen, aber mit System

Veröffentlicht: Donnerstag, Februar 15, 2007 in Mathe und der Rest der Welt, Web 2.0

Für meine Veranstaltung Mathematik und der Rest der Welt habe ich mir in dieser Woche ein System überlegt, mit dem ich den Teilnehmerinnen und Teilnehmern Linklisten zu bestimmten Themen zur Verfügung stelle: Ich speichere die Links in meinem delicious-Account (http://del.icio.us/cspannagel), und dabei erhalten alle Links zur Veranstaltung mindestens das Tag „matheundderrestderwelt“. Somit erhält man über den delicious-link http://del.icio.us/cspannagel/matheundderrestderwelt alle Links zur Veranstaltung. Weiterhin gebe ich jedem Link ein Tag, das das Unterthema bezeichnet, also beispielsweise das tag „modellierenmitgraphen“. Somit erhält man über den delicious-link http://del.icio.us/cspannagel/matheundderrestderwelt+modellierenmitgraphen alle Links zum Thema „Modellieren mit Graphen“ der Veranstaltung.

Dieses System hat die folgenden Vorteile:

  • Man kann sich sämtliche Links zur Veranstaltung anzeigen lassen oder lediglich Links zu einem bestimmten Thema innerhalb der Veranstaltung.
  • Wenn ich in Zukunft die Veranstaltung nochmal anbiete, kann ich einfach die delicious-Links nutzen und muss nicht immer mühsam die einzelnen Links auf der Veranstaltungsseite eintragen.
  • Derselbe Link kann Teil verschiedener Veranstaltungen sein. Er erhält dann dementsprechend die Tags aller Veranstaltungen. Ändert sich ein Link, dann brauche ich ihn nur einmal zu aktualisieren (nämlich in delicious), und nicht auf sämtlichen Veranstaltungsseiten.
  • Jeder der delicious-links hat einen eigenen RSS-Feed (z.B. http://del.icio.us/rss/cspannagel/matheundderrestderwelt) . Mit Hilfe dieser Feeds haben die Teilnehmer die Möglichkeit, über neue Links zur Veranstaltung oder zu den einzelnen Themen informiert zu werden, selbst wenn die Veranstaltung schon einige Semester vorbei ist (vorausgesetzt, ich halte diese Veranstaltung auch in Zukunft und stelle hierfür neue Links ein).

Beispiele für Linklisten zur Veranstaltung gibt’s auf der Veranstaltungsseite.