Proof Show: Eine Methode für Mathematikvorlesungen

Vorbemerkung: Dieser Artikel wird denjenigen, die öfter in meinem Weblog lesen, ein wenig „seltsam“ vorkommen. Es handelt sich dabei um ein „Experiment“. Im nächsten Blog-Artikel werde ich auflösen, worum es dabei geht.

Immer auf der Suche nach aktivierenden Methoden für Vorlesungen habe ich in den letzten Wochen etwas Neues ausprobiert: die „Proof Show“ oder „Beweispräsentation“. Die Idee hierzu bezog ich aus der Cognitive Load Theory und der damit verbundenen Forschung zu worked examples. Die Cognitive Load Theorie nimmt die Begrenztheit des Arbeitsgedächtnisses, in dem bewusste Denkvorgänge stattfinden, in den Blick (Chandler & Sweller, 1996). Diese Kapazitätsbeschränkung sollte bei jeder Instruktion beachtet werden (Sweller et al., 1998; Paas, Tuovinen, Tabbers & van Gerven, 2003). Man unterscheidet drei Formen von cognitive load (CL; Sweller et al., 1998; Kirschner, 2002; Paas et al., 2003): der intrinsic CL bezieht sich auf die Komplexität des Lerninhalts und kann bei gegebenem Inhalt nicht beeinflusst werden (mittlerweile gibt es aber auch erste Ansätze hierfür: siehe Pollock, Chandler & Sweller, 2002; Gerjets et al., 2004; Mayer & Moreno, 2003). Der extraneous CL wird durch eine schlechte Darbietung hervorgerufen. Der germane CL umfasst diejenigen kognitiven Prozesse, die direkt auf das Lernen bezogen sind. Alle drei Formen von CL addieren sich zu einer Gesamtbelastung des Arbeitsgedächtnisses. Ziel jeder Instruktion muss es sein, bei gegebenem intrinsic CL den extraneous CL zu minimieren und den germane CL zu maximieren.

Worked examples sind beispielhafte Lösungen eines Problems bzw. einer Klasse von Problemen (Paas & van Merrienboer, 1994; Atkinson et al., 2000). Diese haben insbesondere in der Mathematik eine große Bedeutung, weswegen bislang auch vor allem Forschung zu mathematischen Lösungsbeispielen betrieben wurde (vgl. Sweller & Cooper, 1985; Scheiter & Catrambone, 2004). Ein besonderer Typ von Lösungsbeispielen sind prozessorientierte Beispiele, also worked examples, in denen der Prozess der Lösens expliziert wird und nicht nur die Lösung an sich (van Gog, Paas & van Merrienboer, 2004, 2006, 2007). Beim mathematischen Beweisen beispielsweise wird der Unterschied sehr deutlich: Nicht der fertige Beweis wird präsentiert, sondern der Prozess des Beweisens (mit all seinen intuitiven Überlegungen, heuristischen Strategien, Irrwegen, Sackgassen, …).

Lösungsbeispiele reduzieren den extraneous CL dadurch, dass der Lernende nicht nach Lösungen suchen muss, sondern Schemata an den gegebenen Lösungen aufbauen kann. Allerdings führt die Präsentation von Lösungsbeispielen nicht direkt zu einem erhöhten germane CL; Lösungsbeispiele werden oft oberflächlich verarbeitet („Illusion des Verstehens“). Mögliche Strategien, Lernende zu einer tieferen Verarbeitung anzuregen, sind Beispielvergleiche (Reed & Bolstad, 1991; Quilici & Mayer, 1996), unvollständige Lösungsbeispiele, sogenannte completion problems (van Merrienboer, 1990; Sweller, van Merrienboer & Paas, 1998) oder Aufforderungen, sich die Lösungen selbst zu erklären (Chi et al.,1989; Stark, Mandl, Gruber & Renkl, 2002).

In meiner Vorlesung Algebra II habe ich diese Theorie nun auf das Verstehen von Beweisen übertragen und in das Konzept Lernen durch Lehren (Martin, 2000, 2002) eingebettet: Die Studierenden finden in dem in der Vorlesung verwendeten Algebra-Buch jede Menge Beweise vor. Die Gefahr beim Lesen dieser Beweise ist aber, dass man sie nur oberflächlich versteht und denkt, man hätte sie verstanden. Dieses Problem versuche ich durch folgendes Szenario zu vermeiden: Die Studierenden setzen sich 10 Minuten lang in kleinen Gruppen zusammen und versuchen, sich einen Beweis Schritt für Schritt selbst zu erklären. Das Ziel dieser Phase ist, dass jeder aus der Gruppe fähig sein muss, diesen Beweis der gesamten Gruppe an der Tafel vorzustellen und zu erklären, und zwar als prozessorientiertes Lösungsbeispiel (also mit der Explikation dessen, welche Strategien angewendet werden, was dabei „gedacht“ wird). Anschließend kommt aus jeder Gruppe eine Person an die Tafel und führt dem Rest  den Beweis vor („Proof Show“).

Ich habe die Erfahrung gemacht, dass die Studierenden hierdurch Beweisschritte hinterfragen, die sie sonst vielleicht nicht hinterfragt hätten (ist eine Vermutung), und dass Studierende sich auch nicht scheuen, während einer Präsentation bei Unklarheiten nachzufragen. Insgesamt habe ich das Gefühl, dass dies wesentlich mehr Verständnis bringt, als wenn ich die Beweise präsentieren würde. Im nächsten Semester werde ich auf jeden Fall versuchen, diese Methode weiter auszubauen.